請選擇 Real Numbers，寫一個吸引的考試題目： 考試題目: 有一個數列 s，由以下公式生成: s0 = 1，sn+1 = √(2 + sn) 請回答以下問題: 1. 證明這個數列是上升有界的。 2. 求出此數列的極限值。 提示: 可能需要使用物極必反原理和數學歸納法。

考試題目：Real Numbers – 這個數列究竟有沒有極限？

1. 數學歸納法證明數列是上升有界的
針對這個數列，我們可以運用數學歸納法證明其為上升有界的數列。首先，當n = 0時，s0 = 1，也就是範圍在1到正無限大之間。接着，我們假設當n為k時，數列s的範圍為1到M，其中M是一個有限的正實數。當n為k+1時，sn+1 = √(2 + sn) >= √(1+sn) > sn。由此得知，數列是上升的。同時，sn+1 = √(2 + sn) <= √(2 + M)。這意味著數列是有上界的。因此，由歸納法可以證明此數列是上升有界的。 2. 利用物極必反原理求出數列的極限值 現在我們需要求出此數列的極限值。我們可以利用物極必反原理，假設數列存在極限值L。因此，當n趨近於無限大時，數列s和L的差距會越來越小。換句話說，當n趨近於無限大時，sn - L會趨近於0。現在我們來進行代數計算: 當n趨近於無限大時，sn+1 = √(2 + sn) = √(2 + L + sn - L) = √(2 + L + (√(2 + sn) - L)^2) 當n趨近於無限大時，數列s必須收斂到某個固定的值，這意味著數列會無限接近於L，因此它的平方零部分將會是小數點後若干位之後的項目。如果L不等於2，那麼由於sn的上升特性，數列