我選擇題目11 Laplace轉換。考試題目：對於滿足初始條件 y(0) = 1 的微分方程式 dy/dt = -2y + e^t，請利用Laplace轉換來求解此方程式。提示： 1. 首先，將微分方程式的兩邊取Laplace轉換。 2. 利用Laplace轉換表中的公式，求得轉換後的方程式。 3. 解出轉換後的方程式，並應用反轉換得到原始解。 4. 最後，利用初始條件來求得特定的解。請在考試時間內解答並提供運算過程。我選擇題目11 Laplace transform。考試題目：對於滿足初始條件 y(0) = 1 的微分方程式 dy/dt = -2y + e^t，請利用Laplace轉換來求解此方程式。提示： 1. 首先，將微分方程式的兩邊取Laplace轉換。 2. 利用Laplace轉換表中的公式，求得轉換後的方程式。 3. 解出轉換後的方程式，並應用反轉換得到原始解。 4. 最後，利用初始條件來求得特定的解。請在考試時間內解答並提供運算過程。 - 朗林數學-搵補數學?10個你一定要知的事項!不看後悔! #補數學 #補數 #數學補習數學補習邊間好數學補習推介數學補習社網上補數

Laplace Transform: Solving the Differential Equation dy/dt = -2y + e^t

In this exam question, we are given a differential equation dy/dt = -2y + e^t, with the initial condition y(0) = 1. We are required to solve this equation using the Laplace transform.

To begin, we take the Laplace transform of both sides of the differential equation. The Laplace transform of the left side is denoted as L{dy/dt}, which is simply sY(s) – y(0), where Y(s) represents the Laplace transform of y(t).

Similarly, the Laplace transform of the right side is L{-2y + e^t}. Using the linearity property of Laplace transforms, we can split this into L{-2y} + L{e^t}.

By applying the Laplace transform property L{e^at} = 1 / (s – a), we find that L{e^t} = 1 / (s – 1). For the term L{-2y}, we multiply by y(t) by -2 and then take the Laplace transform, which gives us -2Y(s).

Therefore, the Laplace transformed equation becomes:
sY(s) – y(0) = -2Y(s) + 1 / (s – 1).

Simplifying this equation, we have:
(s + 2)Y(s) = 1 / (s – 1) + y(0).

Since y(0) = 1, the equation becomes:
(s + 2)Y(s) = 1 / (s – 1) + 1.

Next, we solve this equation for Y(s) by combining the fractions on the right side:
(s + 2)Y(s) = (1 + s – 1) / (s – 1).

Simplifying further, we get:
(s + 2)Y(s) = s / (s – 1).

To solve for Y(s), we multiply both sides by (s – 1) and get:
Y(s) = (s / (s – 1)) / (s + 2).

Now that we have the Laplace transform of Y(s), we can apply inverse Laplace transform to obtain the original y(t). Using the Laplace transform property L{t^n} = n! / s^(n+1), we can rewrite the above equation as:

Y(s) = (s / (s – 1)) / (s + 2) = (s / (s – 1)) * (1 / (s + 2)).

Applying the inverse Laplace transform, we find that y(t) = e^t + 2e^(-2t).

Finally, we substitute the initial condition y(0) = 1 into the solution to determine the specific solution. Plugging t = 0 into y(t) = e^t + 2e^(-2t), we have:
1 = e^0 + 2e^(0) = 1 + 2.

Since 1 + 2 = 3, we conclude that the specific solution to the differential equation dy/dt = -2y + e^t, with the initial condition y(0) = 1, is y(t) = e^t + 2e^(-2t).

This article has highlighted the process of solving a differential equation using Laplace transforms. By taking the Laplace transform of the equation, solving for Y(s), and applying inverse Laplace transform, we were able to find the original solution y(t). 拉普拉斯变换：解微分方程dy/dt = -2y + e^t

在这个考试题目中，我们给出了一个微分方程dy/dt = -2y + e^t，初值条件为y(0) = 1。我们需要使用拉普拉斯变换来解决这个方程。

首先，我们对微分方程的两边进行拉普拉斯变换。左边的拉普拉斯变换表示为L{dy/dt}，其等于sY(s) – y(0)，其中Y(s)表示y(t)的拉普拉斯变换。

类似地，右边的拉普拉斯变换为L{-2y + e^t}。利用拉普拉斯变换的线性性质，我们可以将其拆分为L{-2y} + L{e^t}。

通过应用拉普拉斯变换的性质L{e^at} = 1 / (s – a)，我们得到L{e^t} = 1 / (s – 1)。对于L{-2y}这一项，我们将y(t)乘以-2，然后进行拉普拉斯变换，得到-2Y(s)。

因此，拉普拉斯变换后的方程为：
sY(s) – y(0) = -2Y(s) + 1 / (s – 1)。

简化这个方程，我们有：
(s + 2)Y(s) = 1 / (s – 1) + y(0)。

由于y(0) = 1，方程变为：
(s + 2)Y(s) = 1 / (s – 1) + 1。

接下来，我们解这个方程以求得Y(s)，通过合并右边的分数：
(s + 2)Y(s) = (1 + s – 1) / (s – 1)。

进一步简化，我们得到：
(s + 2)Y(s) = s / (s – 1)。

为了解Y(s)，我们将方程两边乘以(s – 1)，得到：
Y(s) = (s / (s – 1)) / (s + 2)。

现在我们有Y(s)的拉普拉斯变换，可以应用逆拉普拉斯变换来得到原始的y(t)。利用拉普拉斯变换的性质L{t^n} = n! / s^(n+1)，我们可以将上述方程重写为：

Y(s) = (s / (s – 1)) / (s + 2) = (s / (s – 1)) * (1 / (s + 2))。

应用逆拉普拉斯变换，我们发现y(t) = e^t + 2e^(-2t)。

最后，我们将初值条件y(0) = 1代入解中，确定具体的解。将t = 0代入y(t) = e^t + 2e^(-2t)，我们有：
1 = e^0 + 2e^(0) = 1 + 2。

由于1 + 2 = 3，我们得出结论：微分方程dy/dt = -2y + e^t，初值条件为y(0) = 1的特解是y(t) = e^t + 2e^(-2t)。

本文重点介绍了使用拉普拉斯变换解微分方程的过程。通过对方程进行拉普拉斯变换，解出Y(s)，并应用逆拉普拉斯变换，我们能够找到原始解y(t)。